Saturday, September 23, 2006
方舟子：数学史上一个大恩怨的真相
http://www.sina.com.cn 2006年09月23日 11:28 经济观察报
方舟子／文
数学史上这个著名的大恩怨许多人在中学学习解方程时都听老师讲过。故事说，文艺复兴时期意大利数学家塔塔利亚发现了三次方程的解法，秘而不宣。一位叫卡当的骗子把解法骗到了手，公布出来，并宣称是他自己发现的。塔塔利亚一气之下向卡当挑战比赛解方程，并大获全胜，因为塔塔利亚教他时留了一招。不过，至今这些公式还被称作卡当公式，而塔塔利亚连名字都没有留下来，塔塔利亚只是一个外号，意大利语意思是“结巴”。网上广为流传的一篇《数学和数学家的故事》一文就是这么介绍的。
然而，这个流行版本从总体到细节都是错误的。塔塔利亚不仅留下了名字(其真名叫尼科洛•方塔纳)，而且也留下了有关这一争执的著作。后人对此事的看法在很大程度上就是受塔塔利亚一面之词的影响。
塔塔利亚与卡当之间并未进行过数学比赛，和塔塔利亚比赛的另有其人。在当时的意大利，两个数学家进行解题比赛成了风气，方式是两人各拿出赌金，给对方出若干道题，30天后提交答案，解出更多道题的人获胜，胜者赢得全部赌金。塔塔利亚很热衷于参加这种比赛，并多次获胜。
当时经常出现的比赛题目是三次方程，因为三次方程的解法还未被发现。意大利博洛尼亚数学家费罗发现了三次方程的一种特殊形式“三次加一次”的解法，临死前传给了学生费奥。费奥的数学水平其实很差，得到费罗的秘传之后便吹嘘自己能够解所有的三次方程。塔塔利亚也自称能够解三次方程，于是，两人在1535年进行了比赛。塔塔利亚给费奥出了30道其他形式的三次方程，把费奥给难住了。费奥则给塔塔利亚出了30道清一色的“三次加一次”方程题，认定塔塔利亚也都解不出来。塔塔利亚在接受费奥挑战的时候，的确还不知道如何解这类方程题。据说，是在最后一天的早晨，塔塔利亚在苦思冥想了一夜之后，突然来了灵感，发现了解法，用了不到两个小时就全部解答了。塔塔利亚欣喜若狂，宽宏大量地放弃了费奥交的赌金。
当时担任米兰官方数学教师的卡当听说了此事，通过他人转告塔塔利亚，希望能够知道解法，遭到塔塔利亚的拒绝。于是卡当直接给塔塔利亚写信，暗示可以向米兰总督推荐塔塔利亚。
在威尼斯当穷教师的塔塔利亚一见有高升的机会，态度大变，于1539年3月动身前往米兰，受到卡当的热情招待。在卡当苦苦哀求，并向上帝发誓绝不泄密后，塔塔利亚终于向卡当传授了用诗歌暗语写成的解法。而卡当把“武林秘笈”拿到手，也并没有对塔塔利亚翻脸。然而，像许多泄密者一样，塔塔利亚马上就后悔了。他无心再在米兰求发展，匆忙赶回威尼斯。在那一年，卡当出版了两本数学著作，塔塔利亚都细细研读，一方面很高兴卡当没有在著作中公布三次方程解法，一方面又觉得自己受了卡当的欺骗，在给卡当的信中把这两本书嘲笑了一番，断绝了与卡当的交情。
卡当在获得塔塔利亚的解法后，在其基础上很快就发现了所有三次方程的解法。次年，卡当18岁的秘书费拉里在三次方程解法的基础上又发现了四次方程的解法。卡当与塔塔利亚不同，热衷于通过著书立说发布新发现来赢得名利。但是他和费拉里发现的解法都是建立在塔塔利亚的解法基础上的，根据卡当立下的誓言，塔塔利亚不公布其解法，他们的解法就不得公布。而塔塔利亚显然是想把其解法当成赢得比赛的秘密武器，丝毫也没有想公布出来的迹象。这让卡当很苦恼。
1543年，卡当和费拉里前往博洛尼亚，见到在那里接替费罗当数学教授的费罗的女婿，后者向他们出示了费罗的手稿，证明费罗在塔塔利亚之前就已经发现了解法。这使卡当如释重负，觉得没有必要再遵守誓言，于是，在1545年出版的著作《大术》中公布了三次方程和四次方程的解法。为了避免被指控剽窃，卡当在书中特别提到了费罗和塔塔利亚的贡献。但是这并没有减轻塔塔利亚对他的憎恨。
塔塔利亚在第二年出版了一本书，在书中揭露卡当背信弃义，淋漓尽致地对卡当进行了人身攻击。卡当此时由于《大术》一书已名满天下，不想和塔塔利亚计较，但费拉里决定要为主人讨回公道，他在公开信中对塔塔利亚反唇相讥，向塔塔利亚提出比赛挑战。塔塔利亚对此很不情愿，因为和无名小辈比赛即使赢了也没有什么好处，万一输了脸可就丢大了。塔塔利亚在给费拉里的回信中，要求由卡当来应战。但是卡当仍不予理会。塔塔利亚和费拉里来来回回打了一年的笔墨官司，仍然没有解决争端。
到1548年，事情出现转机。塔塔利亚的家乡布雷西亚向塔塔利亚提供了一份报酬不薄的教职，条件是塔塔利亚必须去和费拉里比赛解决争端。
1548年8月10日，比赛在米兰总督的主持下在米兰的教堂举行，吸引了大量的看客。费拉里带了众多支持者助阵，而塔塔利亚只带了一位同胞兄弟，费拉里可谓占尽了天时地利人和，而且在开场白中就已经表现出他对三次和四次方程的理解要比塔塔利亚透彻。身经百战的塔塔利亚一见大势不妙，在当天晚上就悄悄地离开了米兰。
结果塔塔利亚不仅名誉扫地，而且经济也陷入困境。布雷西亚虽然让他教了一年书，却不支付他的薪水。看来，那个时候也没有禁止拖欠教师工资的规定，塔塔利亚打了几场官司也没能把欠薪讨回来，只好灰溜溜地又回到威尼斯继续当他的穷教师。1557年，57岁的塔塔利亚带着对卡当的满腔仇恨，在贫困中死去。
费拉里在比赛后名声大震，甚至连皇帝都来请他给太子当老师。但费拉里选择了给米兰总督当估税员发财。1565年，年仅43岁的费拉里已成了富翁，提前退休回到博洛尼亚，不幸当年就去世了，据说是被他的妹妹毒死的，为了继承他的财产。只有卡当得以长寿，活到了75岁，不过他本来可以活得更长——迷信占星术的卡当预测自己将死于1575年9月21日，为了实现自己的预言，他在那一天自杀。
科学研究毕竟是人从事的事业，人性的弱点也会在其中表现出来。作为一项最为看重首创权的工作，因争名夺利结下的种种个人恩怨也就难以避免，有时也难以让人看清其中的是非曲折。虽然根据现代科研的规范和历史资料来看，卡当在这个事件中的所作所为并无过错，他并没有试图去剽窃他人成果，为了公布学术成果与众人分享所做的努力还很值得赞赏，反倒是塔塔利亚死守学术成果的偏执和对卡当的憎恨都有点变态。奇怪的是，在后人的传说中，卡当却成了欺世盗名的骗子，人们对弱者的同情有时会超过对真相的探求。不过事实的真相毕竟难以掩盖，尤其是在信息发达的今天，更是如此。
(作者系留美学者，生物化学博士）
【数学故事】数学和数学家的故事
最近读到一篇网络长文，介绍了历史上一些著名数学家的奇闻轶事。虽然这些故事对于我来说都是熟悉的，但是有人能够把这些集中起来就显得有分量了。
这篇文章在专业数学网站广为流传。不过，原来的文章里面充满了英文人名和数学名词术语和历史掌故，还有一些于主题无关的段落。不但使其它专业的人读起来费劲，就连一般院校的数学系学生读起来也会感到吃力。 鉴于此，本人决定尝试一下写一篇通俗易懂的文章，向广大网友介绍数学历史上的牛人牛事，希望借此让大家了解数学家和数学的丰富多彩的内涵。当然，作者提到的那篇网络长文的一些或者全部素材可能作为本文的参考资料。不过，本人知道，有些人一提到数学就头痛，所以也没有对人气抱着多大希望 。本文算是东拉西扯信天游的性质，可能介绍一段有趣的故事，也许是一个大家都了解的数学问题，也不知道何时能够写完，自己也没有信心能坚持到底。
一 数学的发源地：古希腊
华人中最杰出的数学家陈省身最近去世了。在弥留之际，他一直在说："送我去希腊。"就像麦加是伊斯兰的圣地，恒河是佛教徒心中的圣地一样，数学家和哲学家心中的圣地就是希腊。古希腊群星璀璨，亚里士多德，苏格拉底，阿基米德这样的博学而又智慧的大家让其它民族望尘莫及。有记载第一位哲学家和数学家是泰勒斯，哲学是从泰勒斯开始的，他预言过一次日蚀，所以我们就很幸运地能够根据这件事实来断定他的年代；据天文学家说，这次日蚀出现于公元前585年。他第一次证明了在圆上，直径所对应的圆周角是90度，这也标志这几何学的诞生和证明的开始。希腊人中能产生那么多哲学家和数学家，几乎可以肯定的是那里的公民有辩论的自由，他们崇尚逻辑思维而不是崇尚武力。
毕达哥拉斯算是希腊数学家中的一个杰出的人物，他创立的有理数的概念至今对于一些受过高等教育的中国人还是一个难的东西。说它难，其实不难，关键是学习知识太功利，彻底搞清这个概念远远比背诵一段政治容易。我上【高等数学】课时，几乎年年有人问我："老师，学习这个有什么用？"希腊的欧几里德碰到谁问他这个问题，从兜里拿出一个硬币，告诉仆人："把这个硬币给他，他问学几何有什么用，学几何不能赚钱，让他拿这个硬币走吧！"
毕达哥拉斯是历史上最有趣味而又最难理解的人物之一。不仅关于他的传说几乎是一堆难分难解的真理与荒诞的混合，而且即使是在这些传说的最单纯最少争论的形式里，它们也向我们提供了一种最奇特的心理学。他建立了一种宗教，主要的教义是灵魂的轮回和吃豆子的罪恶性。他的宗教体现为一种宗教团体，这一教团到处取得了对于国家的控制权并建立起一套圣人的统治。但是未经改过自新的人渴望着吃豆子，于是就迟早都反叛起来了。
毕达哥拉斯教派有一些规矩是：
1．禁食豆子。
2．东西落下了，不要拣起来。
3．不要去碰白公鸡。
4．不要擘开面包。
5．不要迈过门闩。
6．不要用铁拨火。
7．不要吃整个的面包。
8．不要招花环。
9．不要坐在斗上。
10．不要吃心。
11．不要在大路上行走。
12．房里不许有燕子。
13．锅从火上拿下来的时候，不要把锅的印迹留在灰上，而要把它抹掉。
14．不要在光亮的旁边照镜子。
15．当你脱下睡衣的时候，要把它卷起，把身上的印迹摩平。
毕达哥拉斯在代数上的主张是认为数是万物之源，并且认为一切数都能写成两个自然数相除的形式。毕达哥拉斯的在几何上最伟大的发现，或者是他的及门弟子的最伟大的发现，就是关于直角三角形的命题；即直角两夹边的平方的和等于另一边的平方，即弦的平方。埃及人已经知道三角形的边长若为3，4，5的话，则必有一个直角。但是第一个给出严格证明的却是毕达哥拉斯，因此这个定理也被冠以他的名字。这个定理在中国被称作勾股定理，不过至今没有得到广泛的承认。
然而不幸，毕达哥拉斯的定理立刻引到了不可公约数(无理数)的发现，这似乎否定了他的全部哲学。他的一个学生用毕达哥拉斯定理证明了：当正方形的边长是1时，对角线长度不能用任何两个整数相除来表示，也就是说不是有理数。这刚好否定了毕达哥拉斯关于数的存在都是有理的（rational）的想法，这个学生的发现导致了他的丧命：被教众抛进了大海。这次事件被称作数学历史上的第一次危机，它否定了一切数都是有理数的结论。直到18－19世纪，关于微积分严格性的讨论才对第一次数学危机给出了解答。
二 不懂几何者不许入内和阿基米德的裸奔
现在中学生学习的平面几何，都是来源于两千多年前的一本奇书：《几何原本》，它是古希腊数学家欧几里得的一部不朽杰作，是当时整个希腊数学方法和数学思想的结晶，其内容和形式对几何学本身和数学的发展有着不可估量的影响。自它问世之日起，在长达二千多年的时间里一直盛行不衰。它历经翻译和修订的次数更是不胜枚举，自1482年第一个印刷本出版以来，至今已有一千多种不同的版本。除了《圣经》之外，没有任何著作，其研究、使用和传播之广泛，能够与《几何原本》相比。但《几何原本》却有着超越民族、种族、宗教信仰、文化意识方面的影响，是《圣经》所无法比拟的。《几何原本》的希腊原始抄本现在已经流失了，它的所有现代版本都是以希腊评注家泰奥恩编写的修订本为依据的。《几何原本》的泰奥恩修订本分13卷，总共有465个命题，其内容是阐述平面几何、立体几何及算术理论的系统化知识。
《几何原本》对于数学的影响是不可估量的，它是人类历史上第一次采用公理化的体系来讨论数学。就是先假定一些命题是不加证明而认可的，所有的定理和结论都是建立在这些公理的逻辑演绎之上。至今中学生所学的平面几何和立体几何都没有超出《几何原本》的范围，因此可以说这是对人类思想影响最远的数学书。现代数学的公理化方法都是来源于欧几里德的这本书《几何原本》。
古人学习几何更是困难，据说当学到‘一个等腰三角形的两个底角相等'这个定理时，好多人就无论怎样都学不会了，因此这个定理又叫‘驴子的梯子'，指它难住了一大批人。直到现在，平面几何的一些知识或者立体几何的一些定理仍然难住了一大批人，大概学习数学需要一些天赋吧。因此当国王多禄米向欧几里德讨教学习几何的捷径时，欧几里德告诉他："在几何里面，没有为国王提供的捷径。"
在数学上，古希腊人提出"三大问题"：三等分任意角；倍立方，求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍；化圆为方，求作一正方形，使其面积等于一已知圆。这些问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。这类问题直到近代群论的出现，才得以得到解决，这三个问题都是不可解的。
阿基米德就是学习《几何原本》的学生中最杰出的一位。他11岁便离开家乡到当时希腊文化中心的亚历山大城去学习《几何原本》，按辈份他应该是欧几里德的徒孙。他在数学和物理上所创造的奇迹使他成为人类历史上最杰出的科学家。一个著名的故事是：叙拉古的亥厄洛国王委托金匠造一顶纯金的皇冠，但是怀疑里面被掺了银子，当然不可能通过把皇冠割开来检验这个王冠，于是便请阿基米德鉴定一下。一次当他洗澡时正在冥思苦想，这时水漫溢到盆外，于是悟得不同质料的物体，虽然重量相同，但因体积不同，排去的水也必不相等。根据这一道理，就可以判断皇冠是否掺假。阿基米德高兴得跳起来，赤身奔回家中，口中大呼："尤里卡！尤里卡！"（我发现了），于是便开始在大街上裸奔起来了，一直跑到家里。
他在数学上的发现创造更是数不胜数，阿基米德螺线，抛物线上的弓形求面积方法含有现代积分思想，求圆的面积，球的表面积和体积的公式，圆周率的求法和误差估计，等等，直到现在，全世界活着的人中，至少还有百分之六十的人数学知识比不上两千年前的阿基米德。
阿基米德的死也具有传奇色彩，甚至可以编成一部精彩的电影。公元前212年，罗马军队攻入叙拉古，并闯入阿基米德的住宅，他们看见一位老人在地上埋头作几何图形，士兵们将沙盘踩坏。阿基米德怒斥士兵："不要弄坏我的图！"士兵拔出短剑，刺死了这位旷世绝伦的大科学家，阿基米德竟死在愚蠢无知的罗马士兵手里。还有一个版本是他死前说的话是："让我做完最后一道题。"
关于阿基米德在数学史上的地位，美国的数学史学家E.T.贝尔在《数学人物》上是这样评价阿基米德的："任何一张开列有史以来三位最伟大的数学家的名单之中，必定会包括阿基米德，而另外两们通常是牛顿和高斯。不过以他们的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德。"
三 牛顿时代就有马甲
从古希腊数学到近代微积分的产生，中间经历了漫长的停滞不前的年代。期间，各国都产生了一些杰出数学家和一些成果，但是这些成果都是零星的非本质的。期间中国最引以自豪的数学家是祖冲之，他计算出圆周率到小数点后7位。
在十七世纪中叶以后，数学知识的火山似乎在一夜之间爆发了。其中以微积分为代表的变量数学彻底改变了人们的数学思想和方法，解决了物理上提出的大量问题，并且给出了用传统方法想都不敢想的问题的解法。在微积分发现的优先权的争执上，英国数学家和大陆数学家产生了严重纠纷。牛顿于是用了好多编造的名字来‘证明'莱布尼茨的知识不是原创而是抄袭牛顿的。其言辞之尖刻、辱骂之恶毒令人难以想像。莱布尼茨死后，牛顿还津津乐道的向别人讲述怎样用马甲使莱布尼茨伤透了心，并沾沾自喜。
这个时代，法国的贝努力（Bernoulli）家族是一个数学家族，三代出现了十多位杰出的数学家。 这个家族人的脾气都不太好，最奇怪的他们是开始都不是从事数学，可是到后来全部迷上了数学。父亲因为儿子得了数学大奖，嫉妒之下竟然一脚从窗户把儿子踹到了室外。
1696年，约翰.贝努力（ John Bernoulli）在《教师学报》的杂志上面提出最速降线问题，公开针对他的哥哥雅克比.贝努力（Jacobi.Bernoulli）,这两个人在学术让一直相互不忿，据说当年约翰求悬链线的方程，熬了一夜就搞定了，雅克比做了一年还认为悬链线应该是抛物线，实在是很没面子。那个杂志是莱布尼茨主办的，影响很大，欧洲的所有杰出数学家都尝试这来做这个问题。到最后，Jhon收的了5份答案，有他自己的，莱布尼茨的,还有一个罗必达侯爵的 ，然后是他哥哥Jacobi的，最后一份是盖着英国邮戳匿名的。
这个问题陈述起来很简单，就是平面上有两个点A，B，这两个点连线既不是水平也不是垂直，试寻找连接这两个点的曲线，使得靠自身重力的一个小球能用最快时间从这点滑到那点（摩擦阻力不计）。
据说当年牛顿已经从科学第一线退了下来，揽到了皇家造币厂厂长的肥缺。劳累了一天以后，回家在壁炉前看到了贝努力的题，，熬夜到凌晨4点，就搞定了。贝努力看到这个匿名送来的答案，说道："我看到了狮子露出来了利爪。"在这么多解答当中，约翰的应该是最漂亮的，类比了费马光学原理作了出来，用光学一下做了出来。但是从影响来说，弟弟的做法真正体现了变分思想。 这个思想是把每条曲线看作一个变量，进而在每条曲线上所用时间便是曲线的函数，这就是泛函。类似于微积分求最大最小值的办法，把微积分推广到一般函数空间去，这就是【变分法】。不过变分法真正成为一门理论还要属于约翰的弟子欧拉和法国的拉格朗日。
贝努力一家在欧洲享有盛誉，有一个传说，讲的是丹尼尔.贝努力（Daniel Bernoulli，他是约翰.贝努力的儿子）有一次正在做穿越全欧洲的旅行，他与一个陌生人聊天，他很谦虚的自我介绍："我是丹尼尔 .贝努力。"那个人当时就怒了，说："我是还是伊萨克.牛顿呢。"从此之后在很多的场合丹尼尔都深情的回忆起这一次经历，把他当作他曾经听过的最衷心的赞扬。
牛顿去世后，有人写诗赞美他：
宇宙和自然的规律隐藏在黑夜里
神说：让牛顿降生吧
于是一切都成了光明。
贝努力家族对数学最大的贡献还不是在数学本身，而是发现了欧拉。
四 数学英雄欧拉（Euler）
要问在历史上这些数学家中我最佩服谁，那肯定是欧拉。
欧拉小学就被开除了，因为他问的问题太多，给老师太多的难堪。有人说欧拉是先会算术后会说话的，高斯也是这样，高斯一岁时就能发现父亲账本上计算的错误，不过这肯定是传说。但是欧拉很小就知道等周原理：在周长固定的所有图形，面积最大的一定是圆。
大名鼎鼎的约翰.贝努力是欧拉父亲的朋友，第一次见到六岁的欧拉就被欧拉问住了："我知道一个数6，它有因数1，2，3，6，加起来是6的2倍；还有一个数28，有因数1，2，4，7，14，28，加起来也是28的2倍，还有多少这样的数？"这类数叫做完全数，还是欧拉，最终给出了偶数完全数的表达式，那是后来的事情了。对于奇数的情形，谁要是能正确证明有或者没有，现在肯定能拿到数学最高奖。欧拉17岁获得了瑞士巴赛尔大学的硕士学位，欧拉太专注数学，以至于贝努力不得不规定，吃饭时间不许看书。他19岁时被俄罗斯卡德琳娜女王邀请到彼得堡科学院从事研究。
欧拉解决的问题实在太多了，解决问题过程中创造出的方法不知开创了多少个数学分支。欧拉因为解决著名的七桥问题开创了拓扑学，歌德巴赫猜想是因为歌德巴赫和欧拉的通信而出名的。任何一个正整数都一定能写成不超过四个平方数之和是欧拉最早证明的，这可是将近两千年无人解决的问题。数论，几何，力学，天体力学，到处留下欧拉的足迹。现代数学的符号和表达式，如三角，指数，e，i，π 等等，都是欧拉创立的。历史上第一本流行的微积分教科书也是欧拉写的。后来所有的微积分教科书，或者是抄袭欧拉的，或者是抄袭抄袭欧拉的。
欧拉研究数学，就像人在呼吸，鸟在飞翔一样自由和自在。
欧拉早就发现了‘变分法'可是当他发现法国人拉格朗日也有这类思想时，就把自己的藏起来不发表，把出名的机会留给年轻人。
欧拉由于看书过多，年轻时就瞎了一只眼睛，到59岁时，他的左眼也逐渐失明了。正当他抢在完全失明前抢救资料时，一场大火烧毁了他的一切资料。
欧拉大部分工作是在失明以后完成的，包括四平方定理。
欧拉的两个学生因为计算一个无穷级数答案不一样发生争执，失明的欧拉用心算找出了小数点后第50位的错误，结果证明这两个学生都算错了。这就是欧拉。
五 业余高手（1）
在当今日益专业话的分工下，无论是竞技项目还是专业领域，业余爱好者也许永远达不到专业人员的水平。就拿围棋为例，每年中国的专业vs业余最高对抗赛，尽管专业棋手让两个子，可是业余棋手还是几乎全军覆没,象棋领域也大概如此。不过韩国围棋高手刘昌赫曾经是业余棋手，但最后达到了专业超一流棋手的水平。象棋全国冠军陶汉明曾经是业余棋手起家，曾经取得过全国亚军的金波也是业余棋手。不过这些只是极端个别的例子。
在数学发展起步时期，业余数学家取得了骄人的成绩。依我看，费尔马（Femart）应该是自古以来没有与之相比的，估计今后也不会有超越他的业余数学家了。费马(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩的业余数学家，他最初学习法律并以当律师谋生，后来成为议会议员，数学只不过是他的业余爱好，只能利用闲暇来研究。虽然年近30才认真注意数学，但费马对数论和微积分做出了第一流的贡献。费马提出了光线沿最快的路径行进的原理，进而揭示了隐藏在光的折射定律后面的自然界的秘密，原来只有服从折射定律，才能保证光线从一点到达另一点用的时间最短。费马在数论上为我们留下了大量的定理和猜想，其中相当一部分未给出证明。挑选这些‘定理'中最有趣的两个给大家介绍一下。
费尔马猜测，形如 2^(2^n)+1（这里符号‘^'表示幂，如4^2=16）的数都是素数，这类数成为费尔马数。对于n＝0，1，2，3，4，经过验证果然如此。不过对于n＝5，欧拉用心算得出：2^(2^5)+1=2^32+1=641×6700417，不是素数。有趣的对于其它的n，至今没发现一个费尔马数是素数。
下面说说著名的‘费马大定理'：那是费马去世后，人们整理他留下的笔记发现的。费马热衷于不定方程的研究。我想能够坚持读本文的读者应该都知道勾股定理，并知道3^2+4^2=5^2，5^2＋12^2＝13^2，等等，这类数叫做勾股数（国际上叫毕达哥拉斯数），这类数究竟是怎样构造出来的，古希腊时期已经给出了完整的答案：如果x是偶数，且x和y没有公因数，那么必然有有一奇一偶两个正整数a，b，使得：x＝2ab，y＝a^2-b^2，z=a^2+b^2，其中a和b没有公因数。费尔马在阅读一本书叫做【丢番图方程】里面关于勾股数这部分时，在旁边写到：把一个整数的立方写成两个整数的立方之和，把一个整数的四次方写成两个整数的四次方之和，等等，都是不可能的。我已经找到了绝妙的证明，可惜这本数旁边的空白处太少了，我写不下来。
费尔马这个没有写下来的证明，天晓得到底存在还是不存在，可是他的这段话是坑了不少人。欧拉和高斯试图证明这个定理，最后都失败了。一战之前，曾经有个德国人悬赏十万马克给第一个证明费尔马大定理的人，一时许多业余高手都投入到这场奖金的争夺中，但是没有一个证明是正确的。一战以后，德国马克贬值，这笔奖金化作一堆废纸。有人问大数学家希尔伯特（Hilbert）为什么不试试证明这个定理，他说："这是只下金蛋的鹅，我为什么要杀掉它呢？"（意思是说这个定理能引诱好多人从事数学研究，不证明它更好。）
这个定理折磨了数学家整整三百年，直到1993年，一个叫怀尔斯的数学家用难以置信的方法给出了证明。1980年怀尔斯在剑桥大学取得博士学位后来到了美国普林斯顿大学，并成为这所大学的教授。从1986年开始，这家伙七年时间没有发表任何论文，要是在中国他什么经费和津贴都别指望了。1993年6月23日，牛顿研究所举行了20世纪最重要的一次数学讲座。两百名数学家聆听了这一演讲，但他们之中只有四分之一的人完全懂得黑板上的希腊字母和代数式所表达的意思。演讲者就是是安德鲁•怀尔斯。怀尔斯回忆起演讲最后时刻的情景："虽然新闻界已经刮起有关演讲的风声，很幸运他们没有来听演讲。但是听众中有人拍摄了演讲结束时的镜头，研究所所长肯定事先就准备了一瓶香槟酒。当我宣读证明时，会场上保持着特别庄重的寂静，当我写完费马大定理的证明时，我说：‘我想我就在这里结束'，会场上爆发出一阵持久的鼓掌声。"因为他证明了这个大定理。不过说点题外的话，后来又发现他的证明有漏洞，又折磨了他一段时间，到1994年9月，他把所有的漏洞都堵上了。这个证明后来经过精练，已经缩短到130多页，最初的证明有400多页。怀尔斯一下子成了传媒的宠儿和明星，这是数学家少有的抛头露脸的机会，大概是费尔马大定理的内容通俗易懂而证明却持续了300多年吧。
怀尔斯的故事告诉我们：中国目前高校搞急功近利的唯文章数量评价水平的作法，肯定不会出现重大的研究成果。
六 业余高手（b）
提起业余数学家或者数学研究者，每次都使我肃然起敬。在中国，出于对数学中歌德巴赫猜想的兴趣而爱好数学的有一大批人，笔者有幸在互联网和生活中遇见到其中的几个。记得以前看到电视节目【东方时空】百姓故事栏目例介绍了一个业余研究歌德巴赫猜想的一位老先生，自己靠蒸馒头卖钱度日，却把大部分收入用在了歌德巴赫猜想上。虽然研究数学不用什么花销，可是购买资料请教问题要外出吧，要有路费和旅途上的费用吧。这些研究歌德巴赫猜想的人有共同的特点，几乎都宣称自己证明出来了，可是却无法发表在公开出版的学术刊物上，或者被别人挑出错误可是自己还不能理解。在一些论坛上，经常看到有关歌德巴赫猜想的证明，有的看起来还很巧妙。比如我看到一个证明就用到了集合论中很深奥的‘良序公理'，这个公理和‘选择公理'等价。他巧妙的构造一系列集合，可惜他错误的理解了良序公理中‘任何集合都能被良序'，而一厢情愿的认为良序就是一类集合的包含。这些人抱着‘一夜成名'的心态的毕竟是少数，多数是出于对数学的热爱，却由于各种原因，没有机会走上专职研究数学的道路。
德国数学家外尔斯特拉斯（Weierstrass：1815--1897）也算业余高手，后来走上了职业数学家的道路。他开始是学习法律和财经，一度在在中学任教。这大概是中学数学教师中最杰出的一位了。德国是一个多出哲学家的国度，德国人又以严格认真见长，外尔斯特拉斯也是一样，他的品性最能体现德国人对待真理的态度了。他最大的贡献是在微积分严格化上作出了杰出的贡献。
微积分在创立初期，理论上还不够严密性，无穷小变成了神秘和随心所欲被理解的量。因此1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表了文章《向一个不信神的数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出："牛顿在求x^n的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式（x+0）^n，从中减去x^n以求得增量，并除以０以求出x^n的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。"他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，）"是消失了的量的鬼魂......能消化得了二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。"无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。
外尔斯特拉斯和法国的一些数学家一道，使得微积分无懈可击。
外耳斯特拉斯还告诉我们，直观有时是靠不住甚至是完全错误的。从前人们直观上一直认为连续曲线肯定是光滑的，或者大多数点都是光滑的。用在函数上，就是一直认为连续函数是可导的，或者在多数点是可导的。可是外尔斯特拉斯却举出一个反例，在每一个点都连续，却有在任何点都不可导。他举出这个函数是画不出图像的，当时作为一个中学教师，的确令数学家们大跌了眼镜。
1851年，大数学家高斯最得意的弟子黎曼，在博士论文中提出了一个原理：狄利赫来（Dirichlet）原理，利用这个‘原理'，可以美妙的解决变分中提出的一系列问题，并且在数学物理上有着广泛的应用。按照微积分理论，狄利赫来原理应该算是理所当然成立的。可是外尔斯特拉斯却说："不加证明的使用狄利赫来原理，是不严格的。"黎曼也是很谦虚的，便回应到："您说的对，不过这个原理肯定是正确的，很快我就会证明出来。"但是黎曼直到去世也没有证明出来，又是这个中学教师，举出了一个反例，彻底推翻了狄利赫来原理。于是黎曼博士论文中的一切结果都是值得怀疑的了。因此数学家卡尔.诺依曼叹息道："如此美妙而又有广泛应用前景的原理，已经永远从我们视野中消失了。"
1899年，旷世奇才希尔伯特（Hilbert）用了不到6页纸，通过附加一个条件，就消除了黎曼理论的缺陷，从而挽救了这个原理。更神奇的是，还挽救了黎曼的名声，因为用这个改造的原理发现黎曼所得的其它结果又都是正确的了。
这真是群星闪耀的年代，是数学家自由飞翔的年代。可惜一去不复返了。
七 天妒英才
下面要说到两个英年早逝的数学家，伽罗瓦和阿贝尔，不过要先从一个故事说起。
凡是受过初中教育的人都知道，任何一个一元二次方程都可以用求根公式求出它的解，这大概是很久就有的公式了。其中根和系数的关系被称作韦达定理，有着广泛的应用。然而三次方程和四次方程甚至更高阶方程的求解公式一直不被人们所知。在文艺复兴时期，有个叫塔塔利亚的业余数学家首先得到了这个公式，不过他秘而不宣，这是当时搞研究的人的一个传统。可是，这个消息还是在寻求公式的一些业余数学家之间流传着。
有一个叫卡当的业余研究者找到了塔塔利亚，恳求得到塔塔利亚的真传。这个卡当在赌博上也不是一般的赌徒，是他在赌博中提出了概率的思想，他还热衷于炼金术，星象学。塔塔利亚肯定被卡当打动了，也许卡当常跪不起，也许甜言蜜语，总之塔塔利亚告诉了他自己知道的一些公式。卡当学到手求解公式后就离开了塔塔利亚，甚至把对塔塔利亚许下的诺言抛到了九霄云外，写出了一本术，名字叫做‘大术'，介绍了三次方程四次方程的求解方法。于是卡当声名雀起，因为他在书中宣称这些公式是他自己发现的。
两个人的争执开始了，解决争端的方法很简单，来一场决斗：两人各自给对方出20道题，看谁先解出来。塔塔利亚大获全胜，卡当一道题都没有解出来，因为塔塔利亚教他时留了一招，没有把公式的一般情况告诉卡当。这大概是人类历史上的第一场数学竞赛，参赛这只有两个人，这个故事发生在四百多年前。不过至今这些公式还被称作卡当公式，而塔塔利亚连名字都没有留下来，塔塔利亚只是一个外号，意大利语意思是‘结结巴巴的人'的意思。
历史就像一条河流，沉到河里的往往是金子，浮在河面上的往往是水草和马粪。
三次四次方程求根公式得到了以后，人们寻求五次和五次以上方程的求解公式。可是欧拉高斯等杰出数学家都没有找到求解公式，成了当时数学的难题。有两个青年匆匆的来到了这个世界，又匆匆的离开了，也许他们来到人世的目的就是为了给我们一些惊讶和慨叹。
尼尔斯•亨利克•阿贝尔(N.H.Abel)1802年8月5日出生在挪威一个名叫芬德的小村庄。阿贝尔幸运的碰到了一个有数学头脑却无多大数学成果的老师，老师很快发现他的数学才能，使得他很早就接触到了微积分。在中学的最后一年，阿贝尔开始试图解决困扰了数学界几百年的五次方程问题。在19岁那年，他证明了一般五次方程求解公式不存在，就是说，不能用方程系数和开根号的有限多次运算来表示方程的根。阿贝尔认为这结果很重要，便自掏腰包在当地的印刷馆印刷他的论文。因为贫穷，为了减少印刷费，他把结果紧缩成只有六页的小册子。阿贝尔满怀信心地把这小册子寄给国内外的一些数学家，包括数学王子的高斯，希望能得到一些反应。可惜他的文章太简洁了，没有人能看懂。高斯收到这小册子时觉得不可能用这么短的篇幅证明这个世界著名的问题―――连他还没法子解决的问题。他看都没看一眼，就把它扔在书堆里了。阿贝尔的另一篇论文是他在欧洲旅行时通过别人转交给大数学家柯西（Cauchy）手里，柯西连看都没看就扔到纸篓里。
阿贝尔饥寒交迫的回到了挪威，还欠了一身债，最后在绝望中死去，年仅27岁。他活着最大的理想是在大学里当一个讲师，可是到死都没有实现。看看现在大学里教授成堆，博士成群，可是这个群体再也没有疯疯癫癫的学者，没有目光深邃的思想者，没有疯狂的怪癖人物了。
伽罗瓦(Evariste Galois)1811年10月25日生于巴黎附近的一个小城。1829年他两次投考巴黎综合工科学校，却因思想激进，两次被拒绝录取，最后只好进入高等师范学校学习。1829年5月，17岁的他写出了关于五次方程的代数解法的论文，论文中首次引入"群"的概念。他把论文寄给经由柯西，请他交给法兰西科学院审查。柯西对此根本不屑一顾，把这个中学生的文章给弄丢了。1830年2月伽罗瓦再次将他的研究成果写成一篇详细的论文，寄给科学院秘书傅立叶，不料当年5月傅立叶病死，伽罗瓦的文稿再次被丢失。1831年伽罗瓦第三次将论文送交法国科学院。泊松院士看了4个月，最后在论文上批道："完全无法理解"。可惜这些大数学家的傲慢和自大，使得伽罗瓦的理论被埋没了将近50年。
伽罗瓦因为政治激进，被阴谋的政客们用一件小事怂恿和一个军官决斗。在决斗前一个晚上，他急切地写着他的遗言。想在死亡来临之前尽快把他的思想中那些有意义的东西写出来。他不时中断，在纸边空白处写上"我没有时间，我没有时间。"接着伽罗瓦又写下一个潦草的大纲。他在天亮之前那最后几个小时写出的东西，一劳永逸地给一个折磨了数学家几个世纪的难题题找到了真正的答案，开创了数学上的一个重要的分支―――群论。
伽罗瓦在决斗中被打成重伤，死在家里，年仅21岁。
尽管阿贝尔和伽罗瓦创造的群论是纯粹的抽象代数，可是却在后来量子力学中得到了很好的运用。利用对称群理论，人们能够事先预测晶体的种类，群论还会出现在意想不到的地方。比如玩魔方，就可以利用群论的知识。
数学啊，你是如此的具有魅力，如此让人痴迷。
Wednesday, August 16, 2006
隋唐五代时期的天台宗
隋唐五代时期的天台宗
王赐川
从东汉末年至南北朝，中国陷入了近四百年的大分裂（西晋有短期的统一）。581年，杨坚夺取北周政权，建立隋朝，定都长安。589年，隋灭陈，重新统一了中国。
与国家统一相应，佛教也结束了南北异趣的局面并得到新的发展，突出的表现是宗派的竞相建立。天台宗就是在隋代建立的第一个宗派。“三阶教”差不多与天台宗同时建立，但在唐朝遭查禁，后来湮没无闻。
一、天台宗的思想渊源与先驱
天台教学，源于印度佛教，吸收中国文化并加以改造、创新，成为一个独具特色的中国佛教宗派。
在吸收中国文化方面，如其性具善恶说，就与孟子的性善论与荀子的性恶论有关。
天台教学之直接来源，则是印度佛教。灌顶在《摩诃止观·略说缘起》中说：“行人若闻《付法藏》1，则识宗元。”世尊付大迦叶，终师子二十三人。“诸师皆金口所记。”2
湛然在《止观辅行传弘决》卷一之一中说：
若不先指如来大圣，无由列于二十三祖。若不列于二十三祖，无由指于第十三师（龙树）。若不指于第十三师，无由信于衡崖（慧思）台岳（智顗）。故先譬其由，如寻源讨根。3
佛教各宗派均以释尊为始祖。无迦叶王舍城结集，则佛典不传，无诸师相承，则法脉断绝。但在二十三祖中。对天台教学有直接影响的，则是第十三祖龙树。“智者《观心论》云：‘归命龙树师’。验知龙树是高祖（慧文）师也。”4
淇然在《传弘决》中将“金口所记”称为“金口祖承”，又将慧文、慧思、智顗称为“今师相承”。5而慧文、慧思则为天台宗的先驱。
（一） 慧文
慧文事迹的最早记载是《摩诃止观·略说缘起》：
南岳事慧文禅师。当高齐之世，独步河淮，法门非世所知。履地戴天，莫知高厚。文师用心，一依释《论》。《论》是龙树所说，《付法藏》中第十三师。6
聊聊数语。《续高僧传》亦仅在《慧思传》中附上几句：“时禅师慧文，聚徒数百，众法肃清，道俗高尚。”7
从中可知慧文是高齐（550—577）时的大禅师，为慧思的老师。有徒众数百，声望很高，所弘为龙树的《大智度论》。
志磐在《佛祖统纪·慧文纪》中，对慧文悟龙树禅法，述之颇详，8兹简介如下：
慧文阅《大智度论》（第三十卷）引《大品》云，欲以道智9具足道种智、一切智、一切种智断烦恼及习，当学般若。《论》自问曰：“一心中得一切智、道种智、一切种智10，断一切烦恼及习，今云何言以一切智具足一切种智，以一切种智断烦恼及习？答曰：实一切一时得，为令人信般若波罗密故；次第差别说，欲令众生得清净心，虽一心中得，亦有初中后次第，如一心有生、住、灭三相。
文师依此文以修心观，证一心三智。
《统纪》又说：“师又因读《中论》，至《四谛品偈》云：‘因缘所生法，我说即是空。亦名为假名，亦名中道义’。恍然大悟，顿了诸法无非因缘所生。而此因缘，有不定有，空不定空，空有不二，名为中道。师既一依释《论》，是知远承龙树也。”这是说，慧文读《中论》而悟一境三谛。
“一心三智”与“一境三谛”之禅道为慧文所创，故灌顶说，其“法门非世所知，履地戴天，莫知高厚。”
慧文禅法是对当时禅法的一大突破：
与慧文同时，佛陀禅师及其弟子僧稠的禅法在北齐占统治地位。其禅法是十六特胜法、四念处，基本上是声闻禅。也有讲大乘禅的，如《传弘决》卷一之一称与慧文同时的最师（可能是昙无最，精通《华严》）“多用融心，性融相融，诸法无碍。”11但不成系统。
慧风在《天台宗一心三观法门的起源》中说：“从声闻禅数转变到般若禅；从一般游心于缘生法的广泛境界上转向观自心源的心法上来；从理论是般若的，实践是禅数的分裂上，转向般若的理论与般若禅的实践统一上来，到文师而跃到纯一，而达到了‘法门改转，后多胜前，非复可论（九师）相承也’（《佛祖统纪》）的阶段。所以文师正是这个转折点。他是依《论》立观的，从他传授给思师，思师传授给顗师，所谓‘自此授受，始终（与前）异，始可论师承耳！”12
慧文的“一心三智”与“一境三谛”，经智顗改造，成为天台教义之基石。
（二） 慧思（515—577）
1、生平事迹
慧思，武津（今河南上蔡县）人，俗姓李。幼时即归佛乐法，“年十五，出家受具。谢绝人世，专诵《法华》，日唯一食，不受别请。……年二十，因读《妙胜定经》，见赞美禅定，乃遍亲禅德，学摩诃衍。常居林野，经行修禅。后谒文师，咨受口诀，授以观心之法，昼则驱驰僧事，夜则坐禅达旦。”13
《续僧传》说，他在坐禅中，“禅障忽起，四肢缓弱，不胜行步，身不随心。即自观察，我今病者，皆从业生。业由心起，本无外境。反观心源，业非可得。身如云影，相有体空。……又发空定，心境廓然。”14结夏后，豁然大悟法华三昧15。自后所未闻经，不疑自解。
慧思在34岁时即外出弘法。当时北方崇奉僧稠一系的声闻禅，对大乘禅竭力排斥。菩提达摩弟子慧可到东魏邺都讲《楞伽》，有徒众千人的道恒禅师，斥之为“魔语”，贿赂官吏，非理屠害，几至其死。慧可“遭贼斫臂”，可能与此有关。可见大乘禅法的弘传，并非一帆风顺。
慧思弘法遭遇，与慧可如出一辙，兹述其逆境：
（1）548年，34岁，在河南兖州与众议论，为恶比丘所毒，垂死复活。“初出茅庐”，即遭不幸。
（2）553年，至郢州，为刺史刘怀宝讲摩诃衍义。诸恶论师以生金药置毒食中，经七日得愈。
（3）556年，42岁，在光州城西观邑寺讲摩诃衍。有众恶论师竞欲加害。师威严讲经，令恶论师信服。
（4）557年，至南定州为刺史讲摩诃衍，被恶论师“断诸檀越（施主），不令送食，经五十日，唯遣弟子化得，以济身命。”16
554年（天保五年），慧思率徒至光州（治所在今河南光山县），为众讲说于大苏山。他在大苏山住锡14年，为生平住锡时间之最长者。师名行远闻，学徒日增。智顗也是这时来大苏山的。
光州为陈、齐边境。烽火不断，很不安宁。慧思于光大二年（568年），入居南岳衡山。陈宣帝尊称其为大禅师，敕赐寺额“栖玄寺”。在南岳住锡至太建九年（577）入灭，历时10年，时间之长，仅次于大苏山。
2、主要著作及内容提要
《续僧传》说，慧思“凡所著作，口授成章，无所删改。造《四十二字门》两卷，《无争行门》两卷，《释论玄》、《随自意》、《安乐行》、《次第禅要》、《三智观门》等五部各一卷，并行于世。”17今存者仅以下三部。
（1）、《诸法无争三昧法门》两卷，约2.2万字。载《大正藏》卷46。
学佛应先持戒修定，慧由定生。本书重点讲“四念处”观，即身念处，观身不净；受念处，净于苦乐舍三受；心念处，观身心空寂；法念处，破有始无明为尽智，断无始无明为无生智，名为如如性，涅槃非有非无。“无争”是“空”之别名。
（2）、《法华安乐行义》一卷，约8千字。载《大正藏》卷46。
法华行（实践）有二。一是有相行，指《法华·普贤劝发品》的观普贤行。奉持《法华》，精进不懈，能获普贤灌顶而大开智慧。二是无相行，据《法华·安乐行品》修定，体得“心相寂灭，毕竟不生”，“生死涅槃，无一无异。凡夫及佛，无二法界，故不可分别”之三昧。无相行为本书重点。慧思以其屡遭迫害的生活体验，演述此书。
（3）、《随自意三昧》一卷，载《卍续藏》精98册。
即非行非坐三昧，为台宗四种三昧之一。本书依首楞严三昧而作，谓菩萨修六度，必以定为本，观四威仪，于一切时、事，随意用观，念起即觉，意起即修。
此外，还有三书。
（1）、《立誓愿文》一卷，约8千字。载《大正藏》卷46。
道宣在《续传》（645年成书）中未录此文，但他在《大唐内典录》（664年成书）中录有此文。文中所载慧思事迹及思想，与《续传》相合，不能判伪。558年，时年49岁的慧思在大苏山完成金字《摩诃衍般若波罗密经》一部，并造琉璃宝函盛之。即于此时发大誓愿：“我当度脱，无量众生。未来贤幼，弥勒出世，说是摩诃般若经典——《波罗密经》。……若我得佛，十方世界，六道众生，闻我名字，即发无上菩提之心，住不退转。若不尔者，不取妙觉。”愿文近似于法藏比丘（弥陀因位）之四十八愿。文中所说之末法思想、恶行比丘，反映了当时之佛教概况；还有与道教调和的色彩。
（2）、《大乘止观法门》四卷，约3.7万字。载《大正藏》卷46。
隋唐时代，中国人不知有此书，包括智顗，灌顶、湛然诸祖师在内。北宋咸平三年（公元1000年），日僧寂照将此书送到中国，“既登鄮岭（四明山），解筐出卷”于遵式之前并刻版流通。
本书用《起信论》及《华严》的思想作结构，如一心、二门、法界无碍、三业大用等，与慧思原有著作之思想迥异。原有著作，无《起信》踪影。近人多认为《起信》非真谛译，为真谛灭后出现之作品，慧思不可能见到。
圣严法师在《大乘止观法门之研究》18文中，不怀疑《起信》为真谛译。又说：“怀疑本书之非出于南岳所作，这也未必能够视为确论。”“从本书标为‘曲授心要’看，可知本书不是撰述之作，而是一种口传的或口述的作品。在唐之道宣时代（596—667），可能尚未成为一部书的形态。”（赐川按：两人入灭时间，相差90年。）“我仅作论断，尚无法也不必作为本书真伪的最后定论。”19
吴可为先生在《〈大乘止观法门〉作者考辨》20中说：“我们不仅有理由相信它确实是出于慧师大师亲笔所作，而不是一部由弟子编修的作品。”但他笔锋一转，“我们本也无意于此问题上作一最终的结论。……重要的乃是思想本身，而不作为思想到来之通道的思想者。”吴先生所关心的是本书的价值而不是思想者（作者），本文的题目又是《作者考辨》，令人茫然！我们不否定本书的价值，但不定位于哪个作者，就难以作为慧思之思想体系了。
由于真谛译《起信》有争论，就不能肯定慧思读过《起信》，因而慧思著本书或“曲授心要”也就有争论。按智者大师曾于开皇十二年（592）八月“往衡山，营建功德，酬师恩也。”21智者为思禅师之嫡传，到衡山而未见、未闻此书，亦为当时无此书之傍证。
陈寅恪先生认为本书“当系唯识宗华严宗盛时天台宗人之所作也。”22
3、思想
（1）、慧思对台宗理论的建立，贡献巨大。出家后，诵《法华》等经，“数年之间，千遍便满。”23后悟法华三昧，作《法华安乐行义》。天台之宗《法华》，以慧思为开端。
（2）、《法华·方便品》（罗什译本）中，有“唯佛与佛，乃能穷尽诸法实相。所谓诸法：如是相、如是性、如是体、如是力、如是作、如是因、如是缘、如是果、如是报、如是本末究竟等。”深究《法华》的慧思，用此“十如是”建立诸法实相的理论。“慧思说十如的各个方面可算是别相，十者都为之如，则是共相。结合这两类才尽实相的意见，就和《智论》的思想根本相通了。最后，慧思对十如的第十种‘本末究竟等’又解作佛和凡夫同样的具足十法，所以说成究竟平等。”24
《法华玄义》卷二上云：“南岳师读此文，皆云如，故呼为十如也。”25可见，智顗的“一念三千”说，与慧思有关。
（3）、《续传》载，慧思命智顗代讲金字《大品经》，“至一心具万行处，顗有疑焉。思为释曰：‘汝向所疑，此乃《大品》次第意耳！未是《法华》圆顿旨也。吾昔夏中，苦节思此。后夜一念，顿发诸法。吾既身证，不劳致疑。’ 顗即咨受，《法华》行法。”26智顗对经教的任意发挥与教理的创新，多得益于恩师指点。
（4）、《续传》载：“自江东佛法，宏重义门，至于禅法，盖蔑如也。而思慨斯南服，定慧双开，昼谈义理，夜便思择。故所发言，无非致远。便验因定发慧，此旨不虚。南北禅宗，罕不承绪。”27
当时佛教，北方重禅定，南方重慧学。慧思“定慧双开”，这是他的创举并为智者所继承，亦是南北统一在佛教上的反映。
慧思之禅，重在观心。前举“业由心起，本无外境，”智顗发挥为“介尔有心，即具三千。”“身如云影，相有体空”，即空有不二，智顗发挥为“法华本迹十妙不二门”和“三谛圆融”。
慧思之“法华三昧”、“随自意三昧”，皆为智顗所继承。
（5）、南北朝时，三教，特别是佛道二教斗争激烈。慧思有意调和二教。他在《立誓愿文》中说：“为护法故，求长寿命，”“成就五通神仙，”“得好灵芝及神丹”，“藉外丹力修内丹，”“作长寿仙见弥勒。”将成佛与成仙统一起来。后来智者说：“脐下一寸名忧陀罗”28，此云丹田，若能止心守此不散，经久即多有所治。”29把道教的丹田，炼气之说纳入《修习止观坐禅法要》中。荆溪湛然在《传弘决》中说：“金丹者圆法也。初发心时成佛大仙，准龙树法飞金为丹，故曰金丹。”30将圆教比作金丹，将佛称为大仙，显然是一脉相承。不过，当时有此风气，如与湛然同时的希迁作《参同契》，就有“竺土大仙心”一类之语。
（6）、此外，慧思还是末法思想之正式提出的第一人。在公元446年，北魏太武帝灭佛，毁像焚经杀僧。佛教徒深感末法来临，传播末法思想的伪经相继出现，如《像法决疑经》称“诸恶比丘比丘尼遍阎浮提，”《小法灭尽经》称“魔作比丘，坏乱吾道，”31但无人公开提出。558年，慧思在大苏山作《立誓愿文》，正式提出末法思想。这可能与他遭四次打击，几至于死有关。他对末法来临，并不消极悲观，反而立大誓愿，续佛慧命，度尽一切众生。对七众弟子，是莫大的鼓舞和鞭策。《誓愿文》具有重要历史意义。三阶教之信行亦讲末法，但比慧思迟。
二、天台宗的建立者—智顗
智顗建立天台宗，为大家认同。近年，兰日昌先生在《天台宗是否为中国人最早建立的佛教宗派》一文中说，智顗“有开宗立派之势，”“但是严格说来，智顗禅师并无创立宗派的企图，”“湛然始提出‘天台宗’一词，而在此以前，实无所谓天台宗的观念。”兰先生认为：“天台一家之学是否可以称为中国最早建立的宗派”，有探讨之必要。32笔者认为，首先应了知什么是宗、宗派。“通常将尊信同一教义之团体，称为宗，团体再分衍出支流，则称派。一宗团与其他宗团的区别，则称宗门、宗派。”33天台宗有宗主、祖庭、崇奉《法华》，有五时八教、教观双运的独创宗义和“三台三大部。”有天台的行为规范（见《国清百录》），有法脉传承，俨然是一大宗派。智顗有集南北朝佛学大成的雄伟意图，从其判教说，止观说可见端倪。当代社会团体的建立要制定章程，开成立大会和新闻发布会。古代佛教宗派之建立则是自然形成的，甚至有的宗派还改易老祖宗，如南宋以前净土五祖之首为昙鸾，南宋宗晓（1151—1214）却以庐山慧远为始祖，把昙鸾从列祖列宗的名单中划掉了。因此，不能以天台宗这一名称的出现作为台宗建立的标志。如果湛然前无天台宗，则“湛然中兴”之说也不能成立。所以，台宗之建立者是智顗。
（一）智顗生平（538—598）34
1、出生候门，慨世无常而出家（538—560）
智顗，俗姓陈，幼名光道、王道。原为颍川（北齐时治所在今河南许昌市）人，317年，晋王朝迁都建康（今南京市），陈氏一族亦随之移居荆州华容（今湖南华容县，一说湖北公安县）。
智顗的父亲陈起祖，在梁元帝（552—555在位）时，官拜使持节散骑常侍,被封为益阳县开国侯。好景不长，西魏兵于555年攻破江陵（梁元帝称帝于江陵），梁元帝投降。557年，梁将陈霸先在建康建立陈朝。
在这动乱的年代，起祖夫妇相继死亡。时年18（555年）的光道，深感世事无常，投礼湘州果愿寺35法绪法师出家。20岁时，受具足戒。之后，研诵《法华》等经，得其奥旨。
2、大苏妙悟，弘法建康誉金陵（560-575）
560年（陈天嘉元年，时年23岁），智顗前往光州大苏山，向慧思学法。慧思一见如故，说“昔日灵山同听《法华》，宿缘所追，今复来矣！”36
智顗在慧思门下，勤学苦参。一日持诵《法华·药王品》之“是真精进，是名真法供养如来”句，“身心豁然，寂而入定。持因静法，照了法华，若高辉之临幽谷；达诸法相，似长风之游太虚。”“思师叹曰：非尔弗证，非我莫识。所入定者，法华三昧前方便也；所发持者，初旋陀罗尼也。众令文字之师千群万众，寻汝之辩，不可穷也。于说法人中，最为第一。”人称此为“大苏妙悟”。慧思令智顗代讲《大品般若》，很出色。慧思说：“可谓法付法臣，法王无事者也。”
567年（陈光大元年），慧思对智顗说：“我久羡南衡，恨法无所委。汝粗得其门，甚适我愿。……素闻金陵仁义渊薮，试往观之。若法弘其地，则不孤付嘱。”
建康为“六朝古都”，南朝政治文化中心，高僧大德汇集处所。流行佛学为《成实》、《三论》、《涅槃》，且有强烈的排他性。道生说“阐提皆得成佛”，由于北本《涅槃》尚未传入建康，立即遭到围攻并逐出帝京；真谛在广州译出《摄论》《俱舍》，其弟子慧恺等打算把真谛迎回建康。诸硕望奏曰：“岭表所译众部，多明唯识无尘，言乖治术，有蔽国风。”陈废帝准奏，回建康之议成泡影。可见建康是既不易进，更难以立脚。
智顗于568年（陈光大二年，时年30岁）到建康，势如破竹，且形成智顗“旋风”。原因何在？慧思弘扬《法华》《三论》，且定慧双开，既与建康所弘合拍，还可互补，智顗来建康，不用拿通行证；他学问渊博，辩才无碍，对机说法，自然长空破浪，云帆沧海了。
智顗至建康后，有一老僧叫法济的，自矜禅学甚高，对智顗一点也不客气，倚卧着身子问智顗：“有人入定，闻摄山地动，知僧诠练无常。此何禅也？”答曰：“边定不深，邪禅暗入。若取若说，定坏无疑。”济惊起谢曰：“老僧身尝得此定。向灵耀则公说之。则所不解，说已永失。今闻所未闻，非直善知法相，亦乃悬见他心。”济以此事告知慧恺，“恺告朝野，由是声驰道俗，请益成蹊。”
摄山在今南京市东北之长江南岸，又名栖霞山。僧诠住摄山止观寺，为著名三论师。禅法入邪，法济问钟山灵耀（亦作曜）寺道则（僧迁之师），则回答不出，可见南禅水平之一斑。智顗突口说出“邪禅暗入”，法济一下子就被折服了并告知慧恺。慧恺为真谛高足，在智慧寺讲《俱舍》，经其宣扬，智顗声誉鹊起，请住瓦官寺37。
智顗在瓦官寺先后开讲《大智度论》、《次第禅门》（渐次止观）和《六妙门》（不定止观）38。开讲时，“敕一日停朝事”，仆射（宰相）徐陵，尚书毛喜等都来听法，可谓“朱轮动于路，玉佩喧于席。俱服戒香，同餐法味。”
也有来挑战的。兴皇寺的法朗（507—581），为著名三论师，比智顗大31岁，自然是老前辈。他遣弟子来问难，长达十天。智顗一一作解，问者获益，可谓“虚往既实而忘返”，“怀愧不议而革新。”
由是，建康僧众，心悦诚服。建初寺宝琼（504—584）为著名成实、涅槃师，还是陈代京邑的大僧正，且比智顗大34岁。两人在路上相逢，宝琼让路，说：“少欲学禅，不值名匠。长虽有信，阻以讲说。方秋遇贤，今又老矣！”
智顗初入瓦官时，“四十人共坐，二十人得法。……其后徒众转多，得法转少。”自然，孔子弟子三千，贤者七十二人；释尊弟子无数，大弟子也只十人。但智顗此时，尚未形成自己的思想体系，则是事实。
3、天台39潜修，莅陈都重开法筵（575—589）
智顗深感在瓦官“妨我自行化道可知，群贤各随所安，吾欲从吾志，”力辞宣帝、仆射之再三挽留，于575年秋九月，来到他向往已久的天台山。总计他在建康住了8年。
天台山脉，起于今天的天台县始丰溪以东，经新昌、宁海、奉化等县市，主峰华顶，海拔1098米。多悬崖、峭壁、飞瀑。智顗说，修止观的基本条件是“具五缘”，其中之一是“闲居静处。”天台“深山远谷，途远艰险，永绝人踪，谁相恼乱！恣意禅观，念念在道，毁誉不起，是处最胜。”40故来到天台。
初来时，历游山水，居无定处。继去华顶，“登眺不见群山，喧凉永异余处，乃舍众独往，”修头陀行。忽于一日后夜，大风拔木，雷震动山；魑魅千群，状极可畏。安心空寂，自然退散。倏忽父母师僧现前，乍枕乍抱，悲哽流涕。深念实相，体达本无。强软二缘，不为所动，证悟实谛。
华顶头陀，功德圆满。下山至佛陇（即今之智者塔院，在华顶与国清寺之间，距国清寺5千米，578年改名修禅寺）。佛陇偏僻，生活艰难，许多僧人都走了。恰好陈宣帝于太建九年（577）九月下诏：
禅师佛法雄杰，时匠所宗，训兼道俗，国之望也。宜割始丰县调以充众费；蠲两户民，用给薪水。
陈宣帝称智顗为“国之望也”，将始丰县（今天台县）的户税即“调”，割给佛陇作生活费用，还调拨两户农民，为僧众的柴火饮水服务。帝王作大施主，生活大改善，僧众重来佛陇。
智顗在天台住了十年（575年九月—585年四月），是其天台教观蕴酿成熟的十年。
585年（至德三年），陈后主（583—589年在位）问：“释门谁为名胜？左仆射徐陵（《续传》作陈暄）对曰：‘瓦官禅师，……昔远游京邑，群贤所宗。今高步天台，法云东霭。……愿陛下召之，还都弘法。’”
陈后主先后敕迎五次41，智顗才于同年四月至陈都。陈后主亲自恭迎，以国师礼相待，敕住灵曜寺。
智顗在宫中太极殿先讲《大智度论》，继讲《仁王般若经》42。祯明元年（587），在光宅寺讲《法华经》，弟子灌顶笔录，成《法华文句》，为天台三大部之一。天台教观，开始建立。
继后，陈后主又请讲《仁王经》于光宅寺。为什么对此经如此重视呢？经中《护国品》说，若国土将扰乱时，诸王持诵此经，请百法师，设百高座、燃百灯，烧百和香，一日二时讲诵此经，则诸难消灭。还说普明王依法持诵此经，免亡国之难及感化诸王等事。
此时北方统一，隋文帝重文修武，南朝政权，岌岌可危。智顗开讲此经并继续七昼夜燃千灯，大有回报陈主，祈免亡国之意。
在智顗的一生中，与陈王朝的直接交往，从568年到588年，长达20年，是他30岁到50岁的精力旺盛时期。
陈后主极其虔诚，“亲临听法”，“于大众内起礼三拜。”皇后、皇太子也在宫中设千僧大斋会，请授菩萨戒，作戒弟子。
但是，这位陈后主的另一面，荒淫腐朽。选美女千人，奏乐高歌，通宵达旦。所作《玉树后庭花》，为古今公认之亡国艳曲。大造宫室，民不堪命。傅縡劝他改过，却遭杀害。588年，隋以晋王杨广为统帅，率兵51万攻陈，逼临长江。陈后主说，从前北齐来攻三次，北周来过两次，都大败而去。佞臣也说，长江天险，不能渡过。589年一月，建康城破，陈亡。
4、居隋九年，演教观双翼齐飞（589—597）
（1）从文帝警告到“总持”“智者”
当隋军渡江攻城时，城内兵荒马乱，与陈王朝关系密切的智顗，“杖策荆襄”，首先到达庐山并住下来。这时，文帝第三子秦孝王杨俊“闻风延屈”，智顗对使者说，：“虽欲相见，终恐缘差。”予以拒绝。智顗此时心情复杂，与陈王朝关系深，对隋王朝必然有距离，至于不接受邀请，亦有先例，陈后主身为天子，七次亲敕才成行，自然不把文帝三子放在眼里。
隋文帝见智顗不与他合作，加以江南武装反隋不断，深恐宗教势力与反叛武装结合，危及统治。于开皇十年（590年）正月十六日敕书智顗：
皇帝敬问光宅寺智顗禅师。朕于佛教，敬信情重。……比以有陈，虐乱残暴。东南百姓，劳役不胜其若，故命将出师，为民除害。……师既已离世网，修己化人，必希奖进僧伍，固守禁戒，使见者钦服，闻即生善，方副大道之心，是为出家之业。若身从道服，心染俗尘，非直含生之类无所归依，仰恐妙法之门更来谤讟。宜相劝励，以同朕心43。
敕文先作问候，继讲自己信佛及灭陈合理，话锋直转，严肃警告，最后“劝励，以同朕心。”盼其与隋合作。隋文帝深知佛教对治国有利，其政治措施，有的与佛教相合。如齐州一小官王伽，送囚犯李参等七十余人去京城长安，在荥阳将囚犯释放回家并约定时间到达京城。到期齐来，不缺一人。文帝惊喜，嘉奖王伽，又召李参等携妻子进宫赐宴并免罪；还下了一道诏书，说当官的有慈爱之心，民并非难教。智顗驰誉江南，故力求与之合作。
陈灭后，杨广任扬州44总管，处理南方政务。杨广自称弟子，向智顗发出多次邀请。智顗三辞不免，乃提出应邀四条件：
第一、“愿勿以禅法见欺”，即不强行传授佛法。
第二、“愿不责其规矩”，即不能以王权约束。
第三、“愿许为法，勿嫌轻动”，即不得对所传佛法，说三道四。
第四、“若丘壑念起，愿放其饮啄，以卒残生”，即来去自由。
杨广答应了以上条件，智顗来到扬州。591年（开皇十一年）十一月二十三日，杨广在总管金城殿设千僧会，请智顗传授菩萨戒。智顗赐杨广“总持”法名，杨广说：“大师传佛法灯，称为智者。”“智者”之名，由此得来。
（2）杨广建玉泉，智顗演教观
智顗为杨广授戒后不久，“便欲返故林。王仍固请。顗曰：‘先有明约，事无两违，’即拂衣而起。王不敢重邀，合掌寻送。”45
智顗于开皇十二年（592年）三月离扬州后，去庐山东林寺并结夏安居。同年八月，去衡山酬师恩并营建功德。
开皇十三年（593年）春，智顗回荆州故土，上万乡亲，热烈欢迎。
智顗相中玉泉山作寺传法，向杨广求助。杨广回书说：
奉旨于荆州当阳县境玉泉山陲，为建造伽兰招提（寺院）行道，图写地形，具以赐示。伏以布金遍地，买园建立。奉置三尊，永流万代。……既事出神心，理生望表，无容违拒。46
杨广要学舍卫国的须达多长者，建释尊说法讲堂，买祇陀太子的花园，地值是金砖铺地。同年七月二十三日，隋文帝“依来请”赐“玉泉寺”匾额。皇家父子，同心护道。
此后，智顗请杨广撰《衡岳禅师碑文》。向杨广赠送万春树皮袈裟，这是外国人送给梁武帝的贡品，极珍贵。47
智顗在玉泉寺开讲《法华玄义》（593年）、《摩诃止观》（594年）。至此，天台教观建立，“三大部”完成。教与观，如“车之双轮”，“鸟之两翼”，为天台教学之最大特色。智顗说：“于荆州法集，听众一千余僧，学禅三百。州司惶虑，谓乖国式。岂可聚众，用恼官人。故朝同云合，暮如雨散。”48隋统一天下不久，南方叛乱者多，地方官深恐聚众出大乱子，严密监控，智顗饮“恨”，《摩诃止观》最后三章未讲，可能与此有关。
因“天台三大部”中之两部在玉泉寺讲，玉泉寺之名大著，与当时之栖霞、灵岩、国清，并称天下丛林四绝。49
（3）扬州讲《净名》，天台制轨仪
杨广多次敦请智顗去扬州说法，见智顗不应，很不耐烦地说，智顗应“率先名教，永泛法流，兼同治国。”最后直截了当：“若未堪数化，且暂息缘；如可津梁，便开秘藏。”还将智顗对陈王朝说法之盛况作为对比。50
智顗在杨广的催促下，于595年（开皇十五年）正月二十日，再至扬州。原来智顗与杨广的四愿中，有“愿不以禅法见欺”，此次破愿，讲《维摩经》并为杨广撰《净名（维摩诘）义疏》。
智顗在扬州住了一年多，于596年回到阔别11年的天台山修禅寺（585年四月离天台）。
智顗“入天台观乎晚学，如新（心）猿马。若不控锁，日甚月增。”51因此，他制定了天台僧团的轨仪七篇，作为僧人的行为规范和戒律的补充。东晋时，道安在襄阳制僧尼轨范，佛法宪章，条为三例，为中国高僧制轨范之始。智顗之后，有唐代百丈怀海立禅寺清规。智顗之七篇轨仪，可谓承上启下。道安《宪章》今无存，百丈《清规》宋失传，今之《清规》为元朝敕修，面目全非。智顗之轨仪，在《国清百录》中原汁原味地保存下来。
至此，天台宗义，宗规及传宗道场已基本确立。
修禅寺在天台山腰，交通生活诸多不便。智顗决意在山下另建新寺（即今之国清寺），作出规划，请杨广作大护法、大施主，并将附近田土作寺基业。这个账单，只有动用国库，才能完成。
（4）应请三赴扬，石城寺入灭
597年（开皇十七年）十月，杨广派高孝信到天台迎接智顗去扬州。此时智顗身体有病，但王命难违，且有求于杨广（施资造寺），于十一月随高孝信出山，“行百余里，到剡东之石城寺，寺有百尺金绘石像，”52“乃云有疾。谓智越云：‘大王欲使吾来，吾不负言而来也。吾知命在此，故不须前进也。’石城是天台西门。”53智顗在弥留之际，作《遗书与晋王》，念念不忘地请杨广建天台山寺并乞寺名，还愿“王秉国法，兼匡佛教。”54于开皇十七年（597）十一月二十四日（公历598年1月7日）入灭，春秋六十，僧腊四十。
因《别传》称“石城是天台西门”，《续传》称智者于“天台山大石像前端坐如定而卒。”给后人以智者卒于天台县的误会。据《智者碑文》及《智者年谱事迹》55，均谓灭于新昌石像前。新昌大佛位于县城西南2千米处之石城山麓，此处建有智者大师衣钵塔，底部镌有《智者大师传》全文。赐川按：隋时无新昌县（为五代十国时期吴越王钱鏐析剡县以东十三乡置新昌县），以天台山延伸至今新昌县东北，《续传》见智者垂意天台，故曲笔写“卒于天台山”，给人以误会。
智顗圆寂后，杨广按所嘱件件照办，寺成，赐“国清寺”额。多次派使臣来天台吊念及设周忌、设斋、布施法衣度僧。杨广当皇帝（605年）后，也和天台僧众交往不断。
5、关于智顗受隋王朝迫害的问题
天台宗人都认为智顗受陈隋王朝的尊崇。近年在智顗生平的研究上，有新议论出现。谈壮飞先生著《智顗评传》、《名僧智顗死之疑》，说智顗生前曾备受隋统治者的“政治迫害”。潘桂明先生认为智顗与陈朝关系甚好，主动维护。对隋朝则“阳奉阴违，消极回避。正是由于这一不同，使他长期遭受隋文帝和晋王的疑忌和威逼，并最终导致不幸结局。”“他之所以不愿为隋朝所用，表明儒家‘忠孝’‘名节’观念在他身上继续产生作用。这同样是一种王权观念，即正统王朝观念。”56
笔者对此问题，有不同看法，兹作以下叙述。
（1）关于建康城破之时，智顗“杖策荆襄”，不受邀请的问题。
文帝见江南初定，深恐宗教势力与武装反叛结合，故对他发出警告，“以同朕心”，只是打个招呼。后来赐“玉泉寺”额，足征疑虑消失。玉泉寺说法受监控，纯系地方官怕出乱子的治安行为。杨广见智顗不应邀，说几句委婉的牢骚话，不能以威胁视之。杨广出巨资建玉泉寺，智顗赠杨广袈裟，说明关系融洽。
（2）关于智顗回避邀请的问题
现在的人都向往大城市、权力中心。智顗却不去，去了又“拂衣而起”要走，这难道不是迫害，他受不了吗！似乎言之成理。
统治者邀请宗教人士的缘由有：第一，加以控制，如曹植在《辩道论》中说，曹操将当时著名的方土如左慈、甘始等人集中到邺，予以防范。历代统治者大多采用这种软办法；第二是参与朝政，如慧琳得宋文帝信任，参与朝政机密，势倾一时，宾客盈门，人称“黑衣宰相” ；再如梁武帝请茅山道士陶弘景做官，不就，但朝中大事，多向他咨询，人称“山中宰相” ；第三是讲经说法，祈福消灾，如梁武帝、北齐文宣帝迎请高僧是。
历代高僧，多有常住山林，不受邀请之习。慧远居庐山三十余年，不出山入市，送客常以虎溪为界；北魏孝明帝三次诏僧稠禅师进京，都不去。
宋僧志磐见炀帝弑父、信佛，把他譬作阿闍世王57，还说：“故智者自云：‘我与晋王深有缘契。’今观其始则护庐山、主玉泉，终则创国清、保龛垄，而章安结集，十年送供。”58据《国清百录》载，杨广在总管任内，给智者及其僧徒之疏书达35次。因此，杨广虔信佛教，与智顗关系融洽，以智顗作为他的精神支柱，与迫害不沾边。
智顗回避邀请，有几点可说。第一，高僧为方外之宾，绝非招之即来之徒。陈后主五次敕迎，始入建康。他身为国师，兼之政局未清，杨俊相邀，用现在的话说，级别不够。第二，他要讲述玄义、止观，传道授业，无心于俗尘。
（3）关于在石城不吃饭、不服药的问题
杨广派专使邀智顗赴扬，俗人看来，非常尊荣，智者还要杨广出资建寺，有所求，那里有“威逼”气味呢！怎奈智顗有病，自知不起。病人不吃，有何奇怪！要死的病，药也无法。智顗“知天命”，安祥入灭，有何奇怪。
（4）关于“王朝正统观念”的问题
智顗未受迫害，此问题就无从谈起。如他有此观念，就不会吃陈粟，更不会给杨广授戒了。智顗落发变服，高尚其迹，不封侯拜相，所作都为修已化物。隋统一中国为历史潮流，他是拥护的，《国清百录》第88说，智顗作梦有“三国为一家”之语，即周齐陈三国统一于隋，有梦与否不究，他肯定统一的正确性则是可能的，与之相适应，他以统一南北朝佛学为已任。
智顗在《遗书与晋王》中，对杨广赞誉有加，还说“命尽之后，若有神力，誓当影护王之土境，使愿法流行，以报王恩，以副本志。”还有，灌顶在唐朝还活了十五年，如智顗受迫害，为何灌顶文中无涉及呢？因此，“迫害”之说不能成立。
自然，智顗与隋王朝曾有过龃龉，但并非主流，且是一过性的。把非主流事件作主轴，错。
（1）《付法藏因缘传》之略称，共6卷，北魏吉迦夜、昙曜合译。叙述释尊入灭后，迦叶、阿难等二十三位西天祖师付法相传事迹。第二十三祖师子尊者为罽宾国王弥罗掘杀害，法脉遂绝。天台宗、禅宗均重视此书并作为本宗传承之源。唯宋朝契嵩判此书为伪作并重定西方二十八祖。
（2）（3）（4）（5）（6）《大正藏》卷46，页码依次是1上、中；143中；1中；147下；1中。
（7）《大正藏》卷50，P.562下。
（8）《大正藏》卷49，P.178中、下。
（9）缘道谛之智。即缘道谛作道（行）、如（契正理）、行（正趣向）、出（离）四种行相，而断除迷惑之无漏智。
（10）据《智论·释三慧品》说，一切智指声闻缘觉智，了知诸法总相即空相，道种智指菩萨智，了知诸法差别相以度生，一切种智指佛智，通达诸法之总别二相。后来天台宗以三智为空、假、中三观所成。
（11）《大正藏》卷46，P.149上。
（12）《天台宗的判教与发展》P.135，大乘文化出版社1979年版。
（13）《佛祖统纪》卷六，载《大正藏》卷49，P.179上。
（14）《大正藏》卷50，P.563上。
（15） 又作法华忏。依据《法华经》及《观普贤经》而修之法。以三七日为一期，行道诵经，或行或立或坐，谛观实相中道之理。观成可见普贤色身、释迦及分身诸佛，灭一切障道罪，现身入菩萨位。见《摩诃止观》卷二。
（16）《立誓愿文》，载《大正藏》卷46，P.787中、下。
（17）《大正藏》卷50，P.564上。
（18）（19）载《天台典籍研究》，页码依次是P.77—282；140—146。大乘文化出版社1979年版。
（20）《闽南佛学院学报》2000年第1期，P.94—108。
（21）《佛祖统纪》卷六，载《大正藏》卷49，P.183中。
（22）《天台典籍研究》P.1，大乘文化1979年版。
（23）《续传·慧思》，载《大正藏》卷50，P.562下。
（24）吕澂：《中国佛学源流略讲》P.328，中华书局1979年版。
（25）《大正藏》卷33，P.693中。
（26）（27）《大正藏》卷50，页码依次是：563中；563下—564上。
（28）梵语Udāna。原意为无问自说，为十二部经之一。《大智度论》卷六说：“如人欲语时，口中风名优婆罗，还入至脐，触脐响出，响出时触七处（颈、齶、齿、唇、舌、咽、胸）退，是名语言。”（大正藏卷25，P.103上）
（29）（30）《大正藏》卷36，页码依次是471下；445下。
（31）以上两经载《大正藏》卷85，P.1335；1358。
（32）《普门学报》第6期，P.112—114。
（33）《佛光大辞典》P.3143—3144。
（34）灌顶《智者别传》等书称智者寿60，《续传》称寿67。经学者考证，60岁为正确。智者卒于隋开皇十七年十一月二十四日，据杨曾文先生推定，开皇十七年十一月二十四日是公元598年1月7日，而不是597年，故应以598年为智顗卒年。请参阅张风雷《智者大师的世寿与生年》，载《正法研究》1999年创刊号，P.152—154。
（35）《别传》作湘州，《传弘决》作襄州。近人考证，湘州治长沙，古今长沙，均无此寺。可能泛指荆楚一带。
（36）《智者大师别传》，载《大正藏》卷50，P.191下。以下引文，凡未注明出处者，均引自本传。
（37）瓦官寺为建康名刹，建于364年，以建寺掘地得古瓦棺命名。顾恺之在此寺画维摩像，为中国美术史上之大事。
（38）《佛祖统纪》卷六，载《大正藏》卷49，P.182上。
（39）天台之“台”，不能写成“臺”。见赵子廉作《台字探原》，载《东南文化》1994年第二期P.176—178。
（40）《摩诃止观》卷四下，见《大正藏》卷46，P.42中。
（41）《国清百录》卷一。《续传》云“前后七使，并帝手疏。”分别见《大正藏》卷46，P.799；卷50，P.565下。
（42）《仁王护国般若波罗密经》之略称。鸠摩罗什译，唐代有不空译本。隋《法经录》列此经入疑惑录内。
（43）《国清百录》卷二，《大正藏》卷46，P.802下。
（44）扬州在孙吴时治建邺（今南京），至隋开皇九年（589年）改蒋州，移治石头城（今南京清凉山），但人们习惯上仍称扬州。
（45）《续传》卷17，载《大正藏》卷50，P.566中。
（46）（47）（48）《国清百录》，载《大正藏》卷46，页码依次是：806中；806中；809下。
（49）栖霞寺位于今南京摄山，以僧朗在此讲《华严》、三论著名。灵岩寺在今济南西长清县，亦为僧朗说法处。国清寺为天台祖庭。
（50）（51）《国清百录》，载《大正藏》卷46，P.807中、下；793中。
（52）《智者碑文》，载《大正藏》卷46，P.818中。
（53）《智者别传》，载《大正藏》卷50，P.196上。
（54）《国清百录》，载《大正藏》卷46，P.810下。
（55）《大正藏》卷46，P.818中；823下。
（56）潘桂明：《智顗的王朝正统观念》，载《东南文化》1994年第二期，P.182。
（57）为中印度摩羯陀国频婆沙罗王之子，弑父自立，吞并附近小国，为印度统一奠定基础。后皈依释尊并为王舍城结集之大檀越。
（58）《佛祖统纪》卷39，载《大正藏》卷49，P.360中。
